CÁLCULO MULTIVARIADO
Actividades a desarrollar
1. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.
D11 Z, D22 Z, D12 Z, D21 Z
a. z= x2/y−y/x2
b. z= 𝑒−x/y+ lnx/y
c. z= sen−1 3y/x2
d. z= (x2+y2)tan−1 yx
e. 𝑧 = ln√x2+ y2
2. Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v
a. f(x, y) = 1 + 2x√y (3, 4), v = 〈4, −3〉
b. f(x, y) = ln (x2+ y2) (2, 1), v = 〈−1, 2〉
c. g(p, q) = p4− p2q3 (2, 1), v = i + 3j
d. g(r, s) = tan−1(rs) (1, 2), v = 5i + 10j
e. f(x, y, z) = √xyz (3,2, 6), v = 〈−1, −2,2〉
3. Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a la superficie en el punto dado
a. x+y+z= 9, (3,3,3)
b. x2+ y2+ z2= 9, (1,2,2)
c. x2+ y2+ z = 9, (1,2,4)
d. z=16 − x2− y2, (2,2,8)
e. z= x2− y2, (3,2,5)
4. Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada.
a. f(x, y) = xy, sujeta a x2+ y2= 2
b. f(x, y) = x2+ y2, sujeta 2x + y = 5
c. f(x, y) = 3x2+ 3y2+ 5, sujeta a x − y = 1
d. f(x, y) = 4x2+ 2y2+ 10, sujeta 4x2+ y2= 4
e. f(x, y) = xy2, x2+ y2= 27
5. En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura T (en °c) y la viscosidad cinemática 𝑣 (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo.
a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados v = mT+b
b. Utilicéla para estimar la viscosidad del aceite en T = 140 𝑦 T = 160
5.1
T 20° 40° 60° 80° 100° 120°
v 220 200 180 170 150 135
5.2
T 10° 20° 30° 40° 50° 60°
v 22 40 55 70 100 150
5.3
T 5° 10° 15° 20° 30° 40°
v 200 170 165 143 130 115
5.4
T 3° 6° 9° 12° 15° 18°
v 8 16 25 43 52 67
5.5
T 4° 8° 12° 16° 18° 22°
v 225 205 185 174 148 126
1. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.
D11 Z, D22 Z, D12 Z, D21 Z
a. z= x2/y−y/x2
b. z= 𝑒−x/y+ lnx/y
c. z= sen−1 3y/x2
d. z= (x2+y2)tan−1 yx
e. 𝑧 = ln√x2+ y2
2. Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v
a. f(x, y) = 1 + 2x√y (3, 4), v = 〈4, −3〉
b. f(x, y) = ln (x2+ y2) (2, 1), v = 〈−1, 2〉
c. g(p, q) = p4− p2q3 (2, 1), v = i + 3j
d. g(r, s) = tan−1(rs) (1, 2), v = 5i + 10j
e. f(x, y, z) = √xyz (3,2, 6), v = 〈−1, −2,2〉
3. Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a la superficie en el punto dado
a. x+y+z= 9, (3,3,3)
b. x2+ y2+ z2= 9, (1,2,2)
c. x2+ y2+ z = 9, (1,2,4)
d. z=16 − x2− y2, (2,2,8)
e. z= x2− y2, (3,2,5)
4. Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada.
a. f(x, y) = xy, sujeta a x2+ y2= 2
b. f(x, y) = x2+ y2, sujeta 2x + y = 5
c. f(x, y) = 3x2+ 3y2+ 5, sujeta a x − y = 1
d. f(x, y) = 4x2+ 2y2+ 10, sujeta 4x2+ y2= 4
e. f(x, y) = xy2, x2+ y2= 27
5. En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura T (en °c) y la viscosidad cinemática 𝑣 (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo.
a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados v = mT+b
b. Utilicéla para estimar la viscosidad del aceite en T = 140 𝑦 T = 160
5.1
T 20° 40° 60° 80° 100° 120°
v 220 200 180 170 150 135
5.2
T 10° 20° 30° 40° 50° 60°
v 22 40 55 70 100 150
5.3
T 5° 10° 15° 20° 30° 40°
v 200 170 165 143 130 115
5.4
T 3° 6° 9° 12° 15° 18°
v 8 16 25 43 52 67
5.5
T 4° 8° 12° 16° 18° 22°
v 225 205 185 174 148 126
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