CÁLCULO MULTIVARIADO
Actividades a desarrollar
Para el punto 1, se tiene que desarrollar analíticamente siguiendo el ejemplo del video tutorial que se encuentra en el entorno de conocimiento unidad 1 y por medio de GeoGebra.org siguiendo la guía para el uso de recursos educativos en el Entorno de aprendizaje práctico.
1. Hallar las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto inicial 𝑝 y punto final 𝑞, despues hallar un vector unitario en la dirección de 𝑣
a. 𝑝(5, −3, 2) y 𝑞(3, 3, −2)
b. 𝑝(−2, 5, 2) y 𝑞(3, −4, −1)
c. 𝑝(2, 3, 2) y 𝑞(−3, −1, 5)
d. 𝑝(3, −2, −4) y 𝑞(2, 3, 5)
e. 𝑝(−4, −2, 5) y 𝑞(3, 2, −5)
2. Determine la gráfica de la ecuación, recuerde que se tiene que completar el cuadrado
a. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 8𝑦 + 6𝑧 − 25= 0
b. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 8𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 − 4 = 0
c. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 2 = 0
d. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 8𝑥 + 10𝑦 − 4𝑧 + 13= 0
e. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 6𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 19= 0
3. La posición de una partícula, que se mueve en el plano 𝑥𝑦, a las 𝑡 unidades de tiempo está determinada por la ecuación vectorial, obtenga 𝑉(𝑡), 𝐴(𝑡), ‖𝑉(𝑡)‖ 𝑦 , ‖𝐴(𝑡)‖; y determine los vectores velocidad y aceleración en 𝑡 = 𝑡1
a. 𝑅(𝑡) = (𝑡^2+ 4)𝑖 +(𝑡 − 2)𝑗; 𝑡1= 3
b. 𝑅(𝑡) = (1 + 𝑡)𝑖 +(𝑡2-1)𝑗; 𝑡1= 1
c. 𝑅(𝑡) = 5𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑖 + 3𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑗; 𝑡1=14𝜋
d. 𝑅(𝑡) =2𝑡𝑖 −14𝑡𝑗; 𝑡1= 4
e. 𝑅(𝑡) = 𝑒𝑡𝑖 + 𝑒2𝑡𝑗; 𝑡1= 𝑙𝑛2
4. Sean 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥/𝑦^2, 𝑔(𝑥) = 𝑥^2, ℎ(𝑥) = √𝑥 Determine
a. (ℎ ∘ 𝑓)(2,1)
b. 𝑓(ℎ(3), 𝑔(9))
c. ℎ(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥, 𝑦)
d. (ℎ ∘ 𝑔)(𝑓(𝑥, 𝑦))
e. (ℎ ∘ 𝑓)(2,1)
5. Fuerzas con magnitudes de 180 newton y 275 newton actúan sobre un gancho (ver la figura). El ángulo entre las dos fuerzas es de 𝜃 grados.
a. Si 𝜃 = 30°, hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.
b. Expresar la magnitud M y la dirección 𝛼 de la fuerza resultante en funciones 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°
c. Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.
𝜃 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°
M
𝛼
d. Usar una herramienta de graficación para representar las dos funciones M y 𝛼
e. Explicar por qué una de las funciones disminuye cuando 𝜃 aumenta mientras que las otras no.
Para el punto 1, se tiene que desarrollar analíticamente siguiendo el ejemplo del video tutorial que se encuentra en el entorno de conocimiento unidad 1 y por medio de GeoGebra.org siguiendo la guía para el uso de recursos educativos en el Entorno de aprendizaje práctico.
1. Hallar las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto inicial 𝑝 y punto final 𝑞, despues hallar un vector unitario en la dirección de 𝑣
a. 𝑝(5, −3, 2) y 𝑞(3, 3, −2)
b. 𝑝(−2, 5, 2) y 𝑞(3, −4, −1)
c. 𝑝(2, 3, 2) y 𝑞(−3, −1, 5)
d. 𝑝(3, −2, −4) y 𝑞(2, 3, 5)
e. 𝑝(−4, −2, 5) y 𝑞(3, 2, −5)
2. Determine la gráfica de la ecuación, recuerde que se tiene que completar el cuadrado
a. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 8𝑦 + 6𝑧 − 25= 0
b. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 8𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 − 4 = 0
c. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 2 = 0
d. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 8𝑥 + 10𝑦 − 4𝑧 + 13= 0
e. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 6𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 19= 0
3. La posición de una partícula, que se mueve en el plano 𝑥𝑦, a las 𝑡 unidades de tiempo está determinada por la ecuación vectorial, obtenga 𝑉(𝑡), 𝐴(𝑡), ‖𝑉(𝑡)‖ 𝑦 , ‖𝐴(𝑡)‖; y determine los vectores velocidad y aceleración en 𝑡 = 𝑡1
a. 𝑅(𝑡) = (𝑡^2+ 4)𝑖 +(𝑡 − 2)𝑗; 𝑡1= 3
b. 𝑅(𝑡) = (1 + 𝑡)𝑖 +(𝑡2-1)𝑗; 𝑡1= 1
c. 𝑅(𝑡) = 5𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑖 + 3𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑗; 𝑡1=14𝜋
d. 𝑅(𝑡) =2𝑡𝑖 −14𝑡𝑗; 𝑡1= 4
e. 𝑅(𝑡) = 𝑒𝑡𝑖 + 𝑒2𝑡𝑗; 𝑡1= 𝑙𝑛2
4. Sean 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥/𝑦^2, 𝑔(𝑥) = 𝑥^2, ℎ(𝑥) = √𝑥 Determine
a. (ℎ ∘ 𝑓)(2,1)
b. 𝑓(ℎ(3), 𝑔(9))
c. ℎ(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥, 𝑦)
d. (ℎ ∘ 𝑔)(𝑓(𝑥, 𝑦))
e. (ℎ ∘ 𝑓)(2,1)
5. Fuerzas con magnitudes de 180 newton y 275 newton actúan sobre un gancho (ver la figura). El ángulo entre las dos fuerzas es de 𝜃 grados.
a. Si 𝜃 = 30°, hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.
b. Expresar la magnitud M y la dirección 𝛼 de la fuerza resultante en funciones 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°
c. Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.
𝜃 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°
M
𝛼
d. Usar una herramienta de graficación para representar las dos funciones M y 𝛼
e. Explicar por qué una de las funciones disminuye cuando 𝜃 aumenta mientras que las otras no.
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